8.2 Venta de Vehículos

Disponemos de un conjunto de datos sobre 100 coches puestos a la venta en una concesionaria. Las variables son:


Venta de Vehículos: Información
Variable Descripción Valores
Car ID Identification code 1 - 100
Price Sale Price of the car 000s Eur
Age Age of the car, months
PinkSlip Certificate of Title 1: No, 2: Yes
Sold Car sold? 1: No, 2: Yes


Venta de Vehículos: Primeras 12 observaciones
Car ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Price 1 9 0 3 10 2 4 2 2 5 5 2
Odometer 30 20 170 68 12 88 3 41 21 74 41 121
Age 28 40 58 12 3 23 4 13 5 10 62 20
PinkSlip 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1
Sold 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
Nota: http://www.zstatistics.com/


El conjunto de datos nos dice:

Venta de Vehículos: Resumen de Datos
No Variable Stats / Values Freqs (% of Valid) Graph Missing
1 Car ID
[integer]		 Mean (sd) : 50.5 (29)
min < med < max:
1 < 50.5 < 100
IQR (CV) : 49.5 (0.6)		 100 distinct values
(Integer sequence)		 0
(0.0%)
2 Price
[numeric]		 Mean (sd) : 5.2 (5.1)
min < med < max:
0.5 < 4 < 34.5
IQR (CV) : 5.5 (1)		 29 distinct values 0
(0.0%)
3 Odometer
[numeric]		 Mean (sd) : 60.1 (76.7)
min < med < max:
0.2 < 30.5 < 452.5
IQR (CV) : 63 (1.3)		 100 distinct values 0
(0.0%)
4 Age
[integer]		 Mean (sd) : 20.2 (16.1)
min < med < max:
1 < 15 < 90
IQR (CV) : 19 (0.8)		 39 distinct values 0
(0.0%)
5 PinkSlip
[integer]		 Min : 0
Mean : 0.8
Max : 1		 0 : 23 (23.0%)
1 : 77 (77.0%)		 0
(0.0%)
6 Sold
[integer]		 Min : 0
Mean : 0.7
Max : 1		 0 : 35 (35.0%)
1 : 65 (65.0%)		 0
(0.0%)


\[ \operatorname{Sold} = 0.8 - 0.03(\operatorname{Price}) + \epsilon \]


Pensemos la recta ajustada estima la posibilidad (chance) de ser vendido:

\[{\pi_i= Prob(\operatorname{Sold}=1)} = \beta_0 + \beta_1 \operatorname{Price}_i + \epsilon_i\]


¿Cuál sería la probabilidad de ser vendido de un coche que cuesta 45k euros? -> Necesitamos transformar/modificar la variable dependiente.


Pensemos en la siguiente opción:

\[\dfrac{\pi_i}{1-\pi_i}={\dfrac{Prob(\operatorname{Sold}=1)}{1- Prob(\operatorname{Sold}=1)}} = \beta_0 +\beta_1 \operatorname{Price}_i + \epsilon_i\]

Evitamos obtener probabilidad negativa, la distribución es muy asimétrica (no Normal) -> Necesitamos transformar/modificar la variable dependiente.


Aplicamos logaritmo:

\[\log \Bigl ( \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} \Bigr ) =\log \Bigl ( \dfrac{Prob(\operatorname{Sold}=1)}{1- Prob(\operatorname{Sold}=1)} \Bigr ) = \beta_0 +\beta_1\operatorname{Price}_i + \epsilon_i \]


La Regresión Logística Binomial está dada por

\[\operatorname{logit}(\pi_i)= \log \Bigl ( \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} \Bigr ) = \beta_0 +\beta_1x_{1i}+\ldots+\beta_kx_{ki}\]

Es un modelo que se utiliza para predecir la probabilidad de cierta clase, dado un conjunto de variables independientes

  • Binomial: la variable dependiente es binaria, \(\pi_i = Prob(y_i=1)\)

  • Logística: utiliza log-odds o función logit

  • \(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k\) son los parámetros

  • \(x_1, \ldots, x_k\) son las variables independientes


Por ejemplo:

\[\log \Bigl ( \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} \Bigr ) = \operatorname{logit} \Bigl [ Prob(\operatorname{Sold}=1) \Bigr ] = \beta_0 +\beta_1\operatorname{Price}_i\]

Observations 100
Dependent variable Sold
Type Generalized linear model
Family binomial
Link logit
χ²(1) 9.454
Pseudo-R² (Cragg-Uhler) 0.124
Pseudo-R² (McFadden) 0.073
AIC 124.036
BIC 129.246
Est. S.E. z val. p
(Intercept) 1.386 0.356 3.894 0.000
Price -0.143 0.053 -2.695 0.007
Standard errors: MLE

\[ \log\left[ \frac { P( \operatorname{Sold} = \operatorname{1} ) }{ 1 - P( \operatorname{Sold} = \operatorname{1} ) } \right] = 1.39 - 0.14(\operatorname{Price}) + \epsilon \]


¿Qué significa -0.143 en el modelo estimado?

\[\widehat{\operatorname{logit}(\pi_i)} =1.386 -0.143 \operatorname{Price}_i\]

  • Para cada unidad de incremento de \(\operatorname{Price}\), \(\operatorname{logit}(\pi)\) disminuye en 0.143 unidades.

  • ¿Qué ocurre con \(\pi\)?


De \(\operatorname{logit}(\pi_i)\) a \(\pi_i\):

  • Tenemos:

\[ \operatorname{logit}(\pi) = \log \Bigl ( \dfrac{\pi}{1-\pi} \Bigr )=\beta_0 +\beta_1 \operatorname{Price}\]

  • Entonces:

\[\pi = \dfrac{e^{\beta_0 +\beta_1 \operatorname{Price}}}{1+e^{\beta_0 +\beta_1 \operatorname{Price}}}\] - O alternativamente (más fácil):

\[\pi = \dfrac{e^{\operatorname{logit}(\pi) }}{1+e^{\operatorname{logit}(\pi) }}\]

En el ejemplo:


Los coeficientes determinan la curva:

Multiple Logistic Regression

Asume que la transformación \(\operatorname{logit}\) de la variable dependiente tiene una relación lineal con las variables independientes.


Incluyamos una variable más en el modelo.

\[\log \Bigl ( \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} \Bigr ) =\log \Bigl ( \dfrac{Prob(\operatorname{Sold_i}=1)}{1- Prob(\operatorname{Sold_i}=1)} \Bigr ) = \beta_0 +\beta_1\operatorname{Price}_i +\beta_2\operatorname{Pink Slip}_i\]

Observations 100
Dependent variable Sold
Type Generalized linear model
Family binomial
Link logit
χ²(2) 18.407
Pseudo-R² (Cragg-Uhler) 0.232
Pseudo-R² (McFadden) 0.142
AIC 117.083
BIC 124.898
Est. S.E. z val. p
(Intercept) 0.396 0.480 0.824 0.410
Price -0.173 0.057 -3.044 0.002
PinkSlip 1.555 0.531 2.926 0.003
Standard errors: MLE

\[ \log\left[ \frac { P( \operatorname{Sold} = \operatorname{1} ) }{ 1 - P( \operatorname{Sold} = \operatorname{1} ) } \right] = 0.4 - 0.17(\operatorname{Price}) + 1.55(\operatorname{PinkSlip}) + \epsilon \]


Estimamos \(\pi\)


Interpretación de los parámetros del modelo:

Los coeficientes de la regresión logística estiman el cambio en log-odds de la variable dependiente dado el aumento de una unidad en la variable independiente.

Coeficientes Estimados
Coeficiente 2.5 % 97.5 %
(Intercept) 0.396 -0.552 1.354
Price -0.173 -0.295 -0.071
PinkSlip 1.555 0.533 2.632

  • \(\beta_1=-0.173\) : Si el precio se incrementa en 1000 euros, el log-odds de vender el coche disminuye, en media, en 0.173, manteniendo el resto constante.

  • \(\beta_2= 1.555\) : Si el coche tiene Pink Slip, el log-odds de vender el coche aumenta, en media, en 1.555, manteniendo el resto constante.

Si aplicamos \(\exp\) a los coeficientes, podemos interpretarlos como odds-ratios.

Coeficientes Estimados
OR 2.5 % 97.5 %
(Intercept) 1.486 0.576 3.872
Price 0.841 0.745 0.931
PinkSlip 4.734 1.704 13.903

  • \(\exp(\beta_1)=0.84\):Si Price aumenta en una unidad, el odds de ser vendido (versus no ser vendido) se incrementa en un factor de 0.84

  • \(\exp(\beta_2)=4.73\):Si Pink Slip aumenta en una unidad, el odds de ser vendido (versus no ser vendido) se incrementa en un factor de 4.73


  • \(\beta\) indica el efecto de \(x\) sobre log-odds.

  • \(\operatorname{exp}(\beta)\) indica el efecto de \(x\) sobre odds-ratio.