18.4 Operador $B$

18.4.1 Operador Retardo

Operador de Retardo

Se representa con el símbolo $B$ o $L$, del inglés Backshift operator o Lag operator. Se define como:

$$B Y_{t} = Y_{t-1s}$$ donde $Y_{t}$ es una serie temporal en el momento $t$

• $B$ indica que se sustituye el valor en una fecha por el valor en el instante inmediatamente anterior.

$$B Y_{t} \equiv B(Y_{t-1}) \equiv B:Y_{t-1}$$

• Una doble aplicación de $B$ se denota por:

$$B^{2} Y_{t}=B\left(B Y_{t}\right)=B Y_{t-1}=Y_{t-2}$$

• En general,

$$B^{d} Y_{t} = Y_{t-d}$$

18.4.2 Operador Diferencia

Operador Diferencia

Se representa con el símbolo $\nabla$ - en inglés differencing. Se define por:

$$\nabla Y_{t} = Y_{t} - Y_{t-1}$$ donde $Y_{t}$ es una serie temporal en el momento $t$

Ejemplos:

$$\begin{aligned} Y_{1}-Y_{0} &=\nabla Y_{1}\\ Y_{2}-Y_{1} &=\nabla Y_{2}\\ Y_{n}-Y_{n-1} &=\nabla Y_{n} \end{aligned}$$

El operador diferencia regular de orden d ( $d\geq 1$ entero) se representa por $\nabla^{d}$ (a veces $\Delta^d$) y denota la aplicación sucesiva de $\nabla:$

$$\nabla^{d} Y_{t} = (1-B)^d Y_{t}$$

Por ejemplo:

$$\begin{aligned} \nabla^{2} Y_{t} &=(1-B)^{2} Y_{t}=\left(1-2 B-B^{2}\right) Y_{t} \\ \nabla^{3} Y_{t} &=Y_{t}-3 B Y_{t}+3 B^{2} Y_{t}-B^{3} Y_{t} \end{aligned}$$

$\nabla^{s}$ denota la diferencia estacional definida por:

$$\nabla^{s} Y_{t} = (1-B^s) Y_{t} = Y_t - Y_{t-12}$$

18.4.3 Operador Adelanto

Operador de Adelanto

Se representa con el símbolo $B^-$ o $F$, del inglés Forward operator.

$$B^{-1}Y_{t} = Y_{t+1}$$ donde $Y_{t}$ es una serie temporal en el momento $t$

• $F$ Es el operador de retardos utilizado en el sentido inverso, es decir $d<0$, una nueva serie va a estar adelantada en $d$ unidades de tiempo.
• $B^{-1}$ es llamado lead operator
• En general, $$B^{-d} Y_{t} \equiv B^{-d}(Y_{t}) = Y_{t+d}$$

18.4.4 Propiedades de B

• El retardo de una constante es una constante, $c$:

$$Bc=c$$

• Propiedad distributiva:

$$\left(B^{i}+B^{j}\right) Y_{t}=B^{i} Y_{t}+B^{j} Y_{t}=Y_{t-i}-Y_{t-j}$$

• Propiedad asociativa:

$$\begin{aligned} B^{i} B^{j} X_{t}&=B^{i}\left(B^{j} Y_{t}\right)=B^{i} Y_{t-j}=Y_{t-i-j}\\ B^{i} B^{j} X_{t}&=B^{i+j} y_{t}, \text { y } \\ B^{0} X_{t}&=X_{t} \end{aligned}$$

• Si $|a| < 1,$

$$\left(1+a B+a^{2} B^{2}+a^{3} B^{3}+\ldots\right) Y_{t}=\frac{Y_{t}}{(1-a B)}$$

18.4.5 Ecuaciones en Diferencias

• Una ecuación en diferencias expresa el valor de una variable en función de sus propios valores rezagados, tiempo y otras variables.
• El operador $B$ puede ser utilizado para escribir ecuaciones en diferencias de forma compacta:

$$\begin{aligned} Y_{t} &=a_{0}+a_{1} Y_{t-1}+\ldots+a_{p} Y_{t-p}+\varepsilon_{t} \\ \left(1-a_{1} B-a_{2} B^{2}-\ldots-a_{p} B^{p}\right) Y_{t} &=a_{0}+\varepsilon_{t}\\ \Rightarrow A(B) X_{t}&=a_{0}+\varepsilon_{t} \end{aligned}$$ donde $A(B)$ puede ser visto como un polinomio del operador $B.$

• Otro ejemplo:

$$\begin{aligned} X_{t} &=a_{0}+a_{1} X_{t-1}+\ldots+a_{p} X_{t-p}+\varepsilon_{t}+\beta_{1} \varepsilon_{t-1}+\ldots+\beta_{q} \varepsilon_{t-q} \\ A(B) X_{t} &=a_{0}+M(B) \varepsilon_{t} \end{aligned}$$

El operador $B$ puede ser utilizado para resolver ecuaciones en diferencias:

$$Y_{t} = a_{0}+a_{1} Y_{t-1}+\varepsilon_{t} \\ Y_{t} = a_{0}+B Y_{t}+\varepsilon_{t} \\ Y_{t} = \frac{a_{0}+\varepsilon_{t}}{1-a_{1} B}$$

18.4.6 Ejemplo:

Aplicamos el operador $B$ a la serie de terremostos:

Terremostos Anuales: Primeras 10 observaciones
$t$	$Y_t$	$BY_{t}$	$B^3Y_{t}$	$B^{-1}Y_{t}$	$B^{-1}Y_{t}$	$\nabla Y_{t}$	$\nabla^{3}Y{t}$
1	13	NA	NA	14	10	NA	NA
2	14	13	NA	8	16	-1	NA
3	8	14	NA	10	26	6	NA
4	10	8	13	16	32	-2	3
5	16	10	14	26	27	-6	-2
6	26	16	8	32	18	-10	-18
7	32	26	10	27	32	-6	-22
8	27	32	16	18	36	5	-11
9	18	27	26	32	24	9	8
10	32	18	32	36	22	-14	0