19.8 MA(2)

Cuando un proceso estacionario $\left(Y_{t}\right)$ sigue un modelo $\operatorname{MA}(2),$

$$Y_{t}=\mu+\omega_{t}-\theta_{1} \omega_{t-1}-\theta_{2} \omega_{t-2}$$

con $\theta_{2}+\theta_{1}<1, \theta_{2}-\theta_{1}<1,\left|\theta_{2}\right|<1$ (ver 2.3.1) y $\left(\omega_{t}\right) \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma_{\omega}^{2}\right)$, puede comprobarse lo siguiente:

• Media:

$$\mu_{Y}=\mu$$

• ACF:

$$\rho_{k}=\left\{\begin{array}{ll} -\left[\theta_{1}\left(1-\theta_{2}\right)\right] /\left(1+\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}\right) & \text { si } k=1 \\ -\theta_{2} /\left(1+\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}\right) & \text { si } k=2 \\ 0 & \text { para todo } k>2 . \end{array}\right.$$

• Varianza: $$\sigma_{Y}^{2}=\left(1+\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}\right) \sigma_{\omega}^{2} \text { . }$$