19.9 ARMA(p,q)

Un proceso estocástico estacionario $\left(Y_{t}\right)$ sigue un modelo autorregresivo-media móvil de orden $(p, q)$, o $\operatorname{ARMA}(p, q)$ (del inglés AutoRegressive-Moving Averge), si y sólo si

$$\begin{equation} Y_{t}=\mu+\phi_{1} Y_{t-1}+\phi_{2} Y_{t-2}+\ldots+\phi_{p} Y_{t-p}+\omega_{t}-\theta_{1} \omega_{t-1}-\theta_{2} \omega_{t-2}-\ldots-\theta_{q} \omega_{t-q} \label{eq:arma_general} \end{equation}$$

para todo $t=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, donde $\left(\omega_{t}\right) \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma_{\omega}^{2}\right)$ y $\mu, \phi_{1}, \phi_{2}, \ldots, \phi_{p}, \theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{q}$ son parámetros tales que todas las raíces de la ecuación polinomial

$$1-\phi_{1} x-\phi_{2} x^{2}-\ldots-\phi_{p} x^{p}=0$$ están fuera del círculo unitario (condición de estacionariedad).

Un modelo $\operatorname{ARMA}(p, q)$ descrito por la ecuación es invertible si todas las raíces de la ecuación polinomial

$$1-\theta_{1} x-\theta_{2} x^{2}-\ldots-\theta_{q} x^{q}=0$$ están fuera del círculo unitario (condición de invertibilidad).

La ecuación puede escribirse alternativamente como

$$\phi(B) Y_{t}=\mu+\theta(B) \omega_{t},$$ donde

$$\phi(B) \equiv 1-\phi_{1} B-\phi_{2} B^{2}-\ldots-\phi_{p} B^{p}$$

es el operador o polinomio autorregresivo (AR) del modelo y

$$\theta(B) \equiv 1-\theta_{1} B-\theta_{2} B^{2}-\ldots-\theta_{q} B^{q}$$

es el operador o polinomio media móvil (MA).

19.9.1 ARMA(1,1)

Cuando un proceso estacionario $\left(Y_{t}\right)$ sigue un modelo $\operatorname{ARMA}(1,1),$

$$Y_{t}=\mu+\phi_{1} Y_{t-1}+\omega_{t}-\theta_{1} \omega_{t-1}$$

con $\left|\phi_{1}\right|<1,\left|\theta_{1}\right|<1$ y $\left(\omega_{t}\right) \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma_{A}^{2}\right)$, puede comprobarse lo siguiente:

• Media:

$$\mu_{Y}=\frac{\mu}{1-\phi_{1}}$$

• ACF:

$$\rho_{k}=\left\{\begin{array}{lr} {\left[\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)\left(1-\phi_{1} \theta_{1}\right)\right] /\left(1-2 \phi_{1} \theta_{1}+\theta_{1}^{2}\right)} & \text { si } k=1 \\ \rho_{1} \phi_{1}^{k-1} & \text { para todo } k>1 . \end{array}\right.$$

• Varianza: $$\sigma_{Y}^{2}=\frac{1-2 \phi_{1} \theta_{1}+\theta_{1}^{2}}{1-\phi_{1}^{2}} \sigma_{A}^{2}=\left[1+\frac{\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)^{2}}{1-\phi_{1}^{2}}\right] \sigma_{A}^{2}$$