18.1 Procesos Estocásticos

Un proceso estocástico se puede definir como un conjunto de variables aleatorias asociadas a distintos instantes del tiempo.

• En cada momento temporal se dispone de una variable que tiene su correspondiente distribución de probabilidad; por ejemplo, si consideramos el proceso \((Y_t)\), para \(t=1\), tendremos una variable aleatoria, \(Y_1\), que tomará diferentes valores con diferentes probabilidades.

• Una serie temporal es una muestra o realización de un proceso estocástico, formada por una sola observación de cada una de las variables aleatórias que componen el proceso.

• El objetivo del analista es inferir la forma del proceso estocástico a partir de las series temporales que genera.

• Un proceso estocástico, \((Y_t)\), se suele describir mediante las siguientes características: esperanza matemática, varianza, autocovarianzas y coeficientes de autocorrelación.

• La esperanza matemática o media de \((Y_t)\) se traduce en la sucesión de las esperanzas matemáticas de las variables que componen el proceso a lo largo del tiempo, tal que:

\[ E(Y_t)=\mu_t,\ \ t=1,2,3...\] - La varianza de un proceso \((Y_t)\) es una sucesión de varianzas, una por cada variable del proceso:

\[ Var(Y_t)=E(Y_t–\mu_t)^2,\ \ t=1,2,3... \] - Las autocovarianzas son las covarianzas entre cada par de variables del proceso, tales que:

\[ \gamma_k=Cov(Y_t,Y_{t+k})=E[(Y_t–\mu_t)(Y_{t+k}–\mu_{t+k})]=\gamma_{t,t+k},\ \ t=1,2,3... \] - Finalmente, los coeficientes de autocorrelación son los coeficientes de correlación lineal entre cada par de variables que componen el proceso:

\[ \rho_{t,t+k}=\frac{\gamma_{t,t+k}}{\sqrt{Var(Y_t)Var(Y_{t+k})}},\ \ t=1,2,3...,\ \ -1 \leq \rho_{t,t+k} \leq 1 \]

• Un proceso estocástico es un mecanismo generador de series.

• Una serie temporal es una realización particular de un proceso estocástico.

Ejemplos de Procesos Estocásticos

Nombre	Expresión
Ruido Blanco	\(\{\omega_{t}\}\)
Paseo Aleatorio	\(\{Y_{t}\} \quad Y_{t}=Y_{t-1}+\omega_{t}\)
Autorregresivos (AR)	\(\{Y_{t}\} \quad Y_{t}=\varphi_{1} Y_{t-1}+\ldots+\varphi_{p} Y_{t-p}\)
Medias Móviles (MA)	\(\{Y_{t}\} \quad Y_{t}=\omega_{t}+\theta_{1} \omega_{t-1}+\ldots+\theta_{q} \omega_{t-q}\)
Mixtos (ARMA)	\(\{Y_{t}\} \quad Y_{t}=\varphi_{1} Y_{t-1}+ \ldots+\varphi_{p}Y_{t-p}+\theta_{1}\omega_{t-1}+\ldots+\theta_{q} \omega_{t-q}\)