8.1 Enfermedad Coronaria

Disponemos de datos de 100 personas que participaron en un estudio cuyo objetivo era relacionar la presencia o no de una enfermedad coronaria con la edad. El conjunto de datos tiene 4 variables:



Enfermedad Coronaria: Información
Variable Descripción Valores
ID Identification code 1 - 100
AGE Age Years
AGE_GROUP Age group 1: 20-39, 2: 30-34, 3: 35-39, 4: 40-44, 5: 45-49, 6: 50-54, 7: 55-59, 8: 60-69
CHD Presence of CHD 1: No, 2: Yes


Fuente: David W. Hosmer Jr., Stanley Lemeshow, Rodney X. Sturdivant (2013). Applied Logistic Regression, 3rd Edition. ISBN: 978-0-470-58247-3. 528 Pages.


Los primeros datos son:

Enfermedad Coronaria: Primeras 12 observaciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
AGE 20 23 24 25 25 26 26 28 28 29 30 30
AGE_GROUP 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 20-39 30-34 30-34
CHD No No No No Yes No No No No No No No
Fuente: https://rdrr.io/cran/aplore3/man/chdage.html


El conjunto de datos nos dice:

Enfermedad Coronaria: Resumen de Datos
No Variable Stats / Values Freqs (% of Valid) Graph Missing
1 ID
[integer]		 Mean (sd) : 50.5 (29)
min < med < max:
1 < 50.5 < 100
IQR (CV) : 49.5 (0.6)		 100 distinct values
(Integer sequence)		 0
(0.0%)
2 AGE
[integer]		 Mean (sd) : 44.4 (11.7)
min < med < max:
20 < 44 < 69
IQR (CV) : 20.2 (0.3)		 43 distinct values 0
(0.0%)
3 AGE_GROUP
[factor]		 1. 20-39
2. 30-34
3. 35-39
4. 40-44
5. 45-49
6. 50-54
7. 55-59
8. 60-69		 10 (10.0%)
15 (15.0%)
12 (12.0%)
15 (15.0%)
13 (13.0%)
8 ( 8.0%)
17 (17.0%)
10 (10.0%)		 0
(0.0%)
4 CHD
[factor]		 1. No
2. Yes		 57 (57.0%)
43 (43.0%)		 0
(0.0%)


¿Cómo es la relación entre CHD y AGE?


Con el objetivo de analizar la relación entre CHD y AGE, como en el caso de la regresión lineal, construimos un scatterplot.




¿Podemos ajustar un Modelo de Regresión Lineal Simple?


\[ \operatorname{CHD\_} = -0.54 + 0.02(\operatorname{AGE}) + \epsilon \]


Analicemos la variable dependiente CHD por AGE_GROUP. Si calculamos la proporción de “Yes for CHD” en cada grupo de edad:


Enfermedad Coronaria: Grupo de Edad & CHD
CHD:No CHD:Yes n p
20-39 9 1 10 0.10
30-34 13 2 15 0.13
35-39 9 3 12 0.25
40-44 10 5 15 0.33
45-49 7 6 13 0.46
50-54 3 5 8 0.62
55-59 4 13 17 0.76
60-69 2 8 10 0.80
Sum 57 43 100 0.43


Si hacemos un gráfico de la proporción de CHD=Yes en cada grupo de edad:


La curva representa una estimación de \(E[Y|x]\)

La curva anterior tiene forma de \(S\) (S-shaped). Recuerda la gráfica de la distribución acumulada de una variable aleatoria.


La función logística puede ser utilizada para representar la estimación de \(E[Y|x]\)


La función logística o curva logística es una curva S-shaped dada por

\[f(x)=\dfrac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}\] donde

  • \(x_0\) es el valor de x en el punto medio de la curva
  • \(L\) es el valor máximo de la curva
  • \(k\) es la tasa de crecimiento



Recapitulando, la variable dependiente binaria es tal que:

\[ y_i \sim \text{Bernoulli}(\pi_i) \]

donde \(\pi_i\) es la probabilidad de \(y_i=1\) y

\[ \pi_i = \dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1x_i)}} \] Como \(0<\pi_i<1\), para conseguir \(E[Y|x]\) sea un número entre \(-\infty\) y \(+\infty\), obtenemos \(1-p_i,\) la probabilidad de \(y_i=0\):

\[ 1-\pi_i = \dfrac{e^{-(\beta_0+\beta_1x_i)}}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1x_i)}} \] El ratio de probabilidades es: \[ \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} = \dfrac{1}{e^{-(\beta_0+\beta_1x_i)}} \] Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación:

\[ \log \Bigl( \dfrac{\pi_i}{1-\pi_i} \Bigr ) = \beta_0+\beta_1x_i \] que es la ecuación de una regresión lineal simple donde la variable dependiente es \(\log ( \frac{\pi_i}{1-\pi_i})\)


El modelo ajustado es:

\[ \log\left[ \frac { P( \operatorname{CHD} = \operatorname{Yes} ) }{ 1 - P( \operatorname{CHD} = \operatorname{Yes} ) } \right] = -5.31 + 0.11(\operatorname{AGE}) + \epsilon \]
Observations 100
Dependent variable CHD
Type Generalized linear model
Family binomial
Link logit
χ²(1) 29.31
Pseudo-R² (Cragg-Uhler) 0.34
Pseudo-R² (McFadden) 0.21
AIC 111.35
BIC 116.56
Est. S.E. z val. p
(Intercept) -5.31 1.13 -4.68 0.00
AGE 0.11 0.02 4.61 0.00
Standard errors: MLE


Similitudes con el Modelo de Regression Lineal

  • El signo del parámetro (coeficiente) estimado representa el sentido de la influencia de la variable independiente sobre la variable dependiente: positivo o negativo.

  • Podemos utilizar el std.error para construir intervalos de confianza sobre los parámetros del modelo. Tener en cuenta que se utiliza la distribución N(0,1)


Diferencias con el Modelo de Regression Lineal

  • Utilizamos MLE no MCO.

  • La interpretación de parámetros estimados no es la misma!.