19.9 ARMA(p,q)
Un proceso estocástico estacionario \(\left(Y_{t}\right)\) sigue un modelo autorregresivo-media móvil de orden \((p, q)\), o \(\operatorname{ARMA}(p, q)\) (del inglés AutoRegressive-Moving Averge), si y sólo si
\[\begin{equation} Y_{t}=\mu+\phi_{1} Y_{t-1}+\phi_{2} Y_{t-2}+\ldots+\phi_{p} Y_{t-p}+\omega_{t}-\theta_{1} \omega_{t-1}-\theta_{2} \omega_{t-2}-\ldots-\theta_{q} \omega_{t-q} \label{eq:arma_general} \end{equation}\]
para todo \(t=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\), donde \(\left(\omega_{t}\right) \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma_{\omega}^{2}\right)\) y \(\mu, \phi_{1}, \phi_{2}, \ldots, \phi_{p}, \theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{q}\) son parámetros tales que todas las raíces de la ecuación polinomial
\[ 1-\phi_{1} x-\phi_{2} x^{2}-\ldots-\phi_{p} x^{p}=0 \] están fuera del círculo unitario (condición de estacionariedad).
Un modelo \(\operatorname{ARMA}(p, q)\) descrito por la ecuación es invertible si todas las raíces de la ecuación polinomial
\[ 1-\theta_{1} x-\theta_{2} x^{2}-\ldots-\theta_{q} x^{q}=0 \] están fuera del círculo unitario (condición de invertibilidad).
La ecuación puede escribirse alternativamente como
\[ \phi(B) Y_{t}=\mu+\theta(B) \omega_{t}, \] donde
\[ \phi(B) \equiv 1-\phi_{1} B-\phi_{2} B^{2}-\ldots-\phi_{p} B^{p} \]
es el operador o polinomio autorregresivo (AR) del modelo y
\[ \theta(B) \equiv 1-\theta_{1} B-\theta_{2} B^{2}-\ldots-\theta_{q} B^{q} \]
es el operador o polinomio media móvil (MA).
19.9.1 ARMA(1,1)
Cuando un proceso estacionario \(\left(Y_{t}\right)\) sigue un modelo \(\operatorname{ARMA}(1,1),\)
\[ Y_{t}=\mu+\phi_{1} Y_{t-1}+\omega_{t}-\theta_{1} \omega_{t-1} \]
con \(\left|\phi_{1}\right|<1,\left|\theta_{1}\right|<1\) y \(\left(\omega_{t}\right) \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma_{A}^{2}\right)\), puede comprobarse lo siguiente:
- Media:
\[ \mu_{Y}=\frac{\mu}{1-\phi_{1}} \]
- ACF:
\[ \rho_{k}=\left\{\begin{array}{lr} {\left[\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)\left(1-\phi_{1} \theta_{1}\right)\right] /\left(1-2 \phi_{1} \theta_{1}+\theta_{1}^{2}\right)} & \text { si } k=1 \\ \rho_{1} \phi_{1}^{k-1} & \text { para todo } k>1 . \end{array}\right. \]
- Varianza: \[ \sigma_{Y}^{2}=\frac{1-2 \phi_{1} \theta_{1}+\theta_{1}^{2}}{1-\phi_{1}^{2}} \sigma_{A}^{2}=\left[1+\frac{\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)^{2}}{1-\phi_{1}^{2}}\right] \sigma_{A}^{2} \]