19.4 AR(1)

Modelo autorregresivo de orden 1: AR(1)

Un proceso estocástico estacionario (Yt) sigue un modelo AR(1) si

Yt=δ+ϕ1Yt1+ωt,t=±1,±2,±3,

donde (wt) es un ruido blanco con media cero y varianza σ2ω,ωtN(0,σ2ω).


Si el proceso es estacionario en media y varianza entonces se cumple que E(Yt)=E(Yt1) y Var(Yt)=Var(Yt1),t de forma que:

E(Yt)=E(Yt1)=μ=δ+ϕ1μμ=δ1ϕ1 γ0=Var(Yt)=Var(Yt1)=ϕ21γ0+σ2ωγ0=σ2ω1ϕ21

La condición a cumplir para que μ y γ0 sean positivas y finitas es que |ϕ1|<1 (condición de invertibilidad). En ese caso, el proceso será estacionario en media y varianza. Del mismo modo, si el proceso es estacionario, también se verificará para las covarianzas que:

γk=E[YtYtk]E[Yt]E[Ytk]=E[(ϕ1Yt1+ωt)Ytk]=ϕ1E[Yt1Ytk]+E[ωtYtk]=ϕ1γk1=ϕ21γk2=ϕ31γk3==ϕk1γ0ρk=γkγ0=ϕk1γ0γ0=ϕk1

donde, sin pérdida de generalidad se ha supuesto E[Yt]=μ=0