19.4 AR(1)
Un proceso estocástico estacionario (Yt) sigue un modelo AR(1) si
Yt=δ+ϕ1Yt−1+ωt,∀t=±1,±2,±3,…
donde (wt) es un ruido blanco con media cero y varianza σ2ω,→ωt∼N(0,σ2ω).
Si el proceso es estacionario en media y varianza entonces se cumple que E(Yt)=E(Yt−1) y Var(Yt)=Var(Yt−1),∀t de forma que:
E(Yt)=E(Yt−1)=μ=δ+ϕ1μ→μ=δ1−ϕ1 γ0=Var(Yt)=Var(Yt−1)=ϕ21γ0+σ2ω→γ0=σ2ω1−ϕ21
La condición a cumplir para que μ y γ0 sean positivas y finitas es que |ϕ1|<1 (condición de invertibilidad). En ese caso, el proceso será estacionario en media y varianza. Del mismo modo, si el proceso es estacionario, también se verificará para las covarianzas que:
γk=E[YtYt−k]−E[Yt]E[Yt−k]=E[(ϕ1Yt−1+ωt)Yt−k]=ϕ1E[Yt−1Yt−k]+E[ωtYt−k]=ϕ1γk−1=ϕ21γk−2=ϕ31γk−3=…=ϕk1γ0→ρk=γkγ0=ϕk1γ0γ0=ϕk1
donde, sin pérdida de generalidad se ha supuesto E[Yt]=μ=0