16.2 Alisado Exponencial Simple

El método del alisado exponencial simple consiste, al igual que en el caso de las medias móviles, en una transformación de la variable original. Si una variable \(y_t\) es sometida a un proceso de alisado exponencial simple se obtiene como resultado la variable alisada \(a_t\). Teóricamente, la variable alisada \(a_t\) se obtendría según la expresión:

\[\begin{equation} a_t = (1 – w) y_t + (1 – w) wy_{t-1}+ (1-w) w^2 y_{t-2} + (1 – w) w^3 y_{t-3} + \ldots \label{eq:alisadosimple01} \end{equation}\]

donde \(w\) es un parámetro que toma valores comprendidos entre 0 y 1, y los puntos suspensivos indican que el número de términos de la variable alisada puede ser infinito. La expresión anterior en realidad no es más que una media aritmética ponderada de infinitos valores de \(y\).

Se denomina alisada ya que suaviza o alisa las oscilaciones que tiene la serie, al obtenerse como una media ponderada de distintos valores. Por otra parte, el calificativo de exponencial se debe a que la ponderación o peso de las observaciones decrece exponencialmente a medida que nos alejamos del momento actual \(t\). Esto quiere decir que las observaciones que están alejadas tienen muy poca incidencia en el valor que toma \(a_t\). Finalmente, el calificativo de simple se aplica para distinguirla de otros casos en que, como veremos más adelante, una variable se somete a una doble operación de alisado.

Una vez que se han visto estos aspectos conceptuales, vamos a proceder a la obtención operativa de la variable alisada, ya que la expresión no es directamente aplicable por contener infinitos términos. Retardando un período en la expresión anterior se tiene que:

\[ a_{t-1} = (1 – w) y_{t-1} + (1 – w) wy_{t-2} + (1-w) w^2 y_{t-3} + \ldots \]

Multiplicando ambos miembros por \(w\) se obtiene:

\[\begin{equation} wa_{t-1} = (1 – w) wy_{t-1} + (1 – w) w^2 y_{t-2} + (1 – w) w^3 y_{t-3} + \ldots \label{eq:alisadosimple02} \end{equation}\]

Restando de miembro a miembro y ordenando los términos se tiene que: \[ a_{t}=(1-w) y_{t}+w a_{t-1} \] O también: \[ a_{t}=\alpha y_{t}+(1-\alpha) a_{t-1} \] donde \(\alpha=1-w\).

Ahora ya sólo nos falta calcular los valores de \(\alpha\) y \(a_{0}\), parámetros a partir de los cuales resulta sencillo hallar los valores de la variable alisada de manera recursiva, tal que: \[ \begin{array}{l} a_{1}=\alpha y_{1}+(1-\alpha) a_{0} \\ a_{2}=\alpha y_{2}+(1-\alpha) a_{1} \\ a_{3}=\alpha y_{3}+(1-\alpha) a_{2} \end{array} \]

Al asignar un valor a \(\alpha\) hay que tener en cuenta que un valor pequeño de \(\alpha\) significa que estamos dando mucho peso a las observaciones pasadas a través del término \(a_{t-1}\). Por el contrario, cuando \(\alpha\) es grande se da más importancia a la observación actual de la variable \(Y\). En general, parece que un valor de \(\alpha\) igual a 0.2 es apropiado en la mayor parte de los casos. Alternativamente, se puede seleccionar aquel valor de \(\alpha\) para el que se obtenga una Raiz del Error Cuadrático Medio menor en la predicción del período muestral. Respecto a la asignación de valor a \(a_{0}\), se suelen hacer estos supuestos: cuando la serie tiene muchas oscilaciones se toma \(a_{0}=y_{1}\); por el contrario, cuando la serie tiene una cierta estabilidad, se hace \(a_{0}=\bar{y}\).